以下では「リーマンゼータ関数（Riemann ζ 関数）」について、500語以上の日本語による解説を行い、その後特徴を箇条書きで、さらに参考文献・参考サイトを5件以上挙げます。
―――――――――――――――――――――――――――――――― １．リーマンゼータ関数とは何か？ リーマンゼータ関数 ζ(s) は、複素数 s を変数とする特殊関数の一つです。オイラー（Leonhard Euler）が考案した級数 ζ(s) = Σ_{n=1}^∞ 1 / n^s を起源とし、ベルンハルト・リーマン（Bernhard Riemann）が解析接続や関数等式を導入することで一般的な複素解析の枠組みに組み込みました。実部 Re(s) > 1 で級数が絶対収束し、それ以外の s にも解析接続により有意義に定義されます。 数論においては素数分布との深い関係を持ち、特に「リーマン予想」と呼ばれる未解決問題は ζ(s) の非自明な零点が実部 1/2 上に全て存在するとする有名な仮説です。 また物理学の統計力学や量子場理論においても、ゼータ機能の正則化手法（ζ-関数正則化）がエネルギーの無限発散を扱う際に用いられるなど、理論物理への応用も広く知られています。
２．歴史的背景 ・18世紀後半：オイラーが実数 s に対し Σ 1/n^s を考案。 ・19世紀半ば：ディリクレが級数と積分表示を整理。 ・1859年：リーマンが複素解析的手法で ζ(s) の解析接続と関数方程式を発表。 ・20世紀以降：リーマン予想の周辺で解析的数論が大発展し、プライムカウント関数 π(x) との関係が深く研究された。
３．定義と基本性質 1) 級数表示（Re(s)>1） ζ(s) = Σ_{n=1}∞ 1/n^s 2) オイラー積表示（Re(s)>1） ζ(s) = Π_{p:素数} (1 − p^{−s})^{−1} 3) 解析接続 ζ(s) は s = 1 で単極をもつが、他の全点で正則関数として拡張可能。 4) 関数方程式 ξ(s) = π^{−s/2} Γ(s/2) ζ(s) は s → 1−s の対称性をもつ。
４．応用例・関連分野 ・素数定理：π(x) ∼ x / log x の証明に ζ(s) の零点分布が重要。 ・リーマン予想：非自明零点が Re(s)=1/2 の直線上に存在するかが未解決。 ・量子力学・統計力学：エネルギースペクトルの無限級数の正則化。 ・暗号理論：大きな素因数分解の計算複雑度解析。 ・確率論・フラクタル：自己相似構造や多変量ゼータ関数への拡張研究。
５．研究の現状 リーマン予想は未解決であり、ミレニアム懸賞問題の一つに選ばれています。計算機による零点探索は 10^13 個以上の非自明零点が Re(s)=1/2 上にあることを確認していますが、一般証明は得られていません。一方で、モティブゼータ関数や多変数ゼータ関数、p 進ゼータ関数など、拡張版の研究も活発です。
―――――――――――――――――――――――――――――――― 〈特徴（5項目以上）〉 1. 級数表示とオイラー積表示の二重構造をもつ。 2. リーマン予想という未解決問題を中心に数論界・解析学界で研究が進む。 3. 関数方程式により s ↔ 1−s の対称性を備える。 4. 解析接続により s=1 以外の全複素平面で正則に拡張可能。 5. 量子場理論など物理学への応用として ζ-関数正則化がある。 6. 非自明零点の分布が素数分布と深い関係をもつ。 7. 多変数・p進・動機付けゼータ関数など多様な拡張がある。
―――――――――――――――――――――――――――――――― 〈参考文献・サイト〉 1. ウィキペディア「リーマンゼータ関数」 https://ja.wikipedia.org/wiki/リーマンゼータ函数 2. 数学辞典（岩波数学辞典）「ゼータ関数」 https://kotobank.jp/word/ゼータ関数-183763 3. 東京大学数理科学研究科「リーマンゼータ関数とリーマン予想」 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~tour/research/zeta.html 4. Clay Mathematics Institute「Millennium Prize Problems – Riemann Hypothesis」 https://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis 5. 日本物理学会誌「ゼータ関数正則化と物理学への応用」 https://www.jps.or.jp/books/journal/77-4/77-4-797.pdf (PDF) 6. arXiv「An introduction to the Riemann zeta-function」 (英語) https://arxiv.org/abs/math/0402358
以上がリーマンゼータ関数の概説、特徴、および参考情報です。
