zeta（ゼータ）とは、主に数学の解析的手法や数論において登場する重要な関数である「リーマンゼータ関数（Riemann Zeta Function）」を指します。ベルンハルト・リーマンによって1859年に導入されたこの関数は、複素変数 s に対して以下の級数で定義されます。 ζ(s) = ∑_{n=1}^∞ 1 / n^s
実際には実部 Re(s) > 1 の領域でこの級数が収束しますが、リーマンは解析接続（analytic continuation）の手法を用いて ζ(s) を複素平面全域に拡張し、唯一の極（simple pole）を s = 1 に持つ超越関数として定義しました。この解析接続と、以下に示す機能方程式（functional equation）がリーマンゼータ関数の核心を成しています。
Λ(s) = π^{-s/2} Γ(s/2) ζ(s) = Λ(1 – s)
ここで Γ(s) はガンマ関数です。上式は s と 1–s の間に対称性を与え、リーマンゼータ関数の解析的性質と数論的応用を強固に結びつけます。以下、リーマンゼータ関数の特徴と意義について順を追って解説します。
1. 素数との深い関係性 リーマンはゼータ関数の級数表示だけでなく、オイラー積表示（Euler product）をも示しました。 ζ(s) = ∏_{p prime} (1 – p^{-s})^{-1} この式は素数 p を母体として無限積を構成するもので、ゼータ関数を通じて素数分布を解析的に扱うことが可能になります。
2. リーマン予想 ゼータ関数の「非自明な零点（non-trivial zeros）」がすべて実部 1/2 上に存在するかどうか、という未解決問題がリーマン予想です。 Re(s) = 1/2 を満たす s で ζ(s)=0 これを解決することは素数の分布に関する最も基本的な問いへの「鍵」を与えると考えられています。
3. 解析接続と機能方程式 ζ(s) はもともと Re(s) > 1 で定義されますが、解析接続によって複素全平面へ拡張されます。先述の機能方程式はその拡張先で成り立ち、 s ↔ 1 – s の対称性を示します。
4. 数論的応用 リーマン予想以外にも、ゼータ関数は素数定理（Prime Number Theorem）の証明やディリクレ L 関数、多項式ゼータ関数、セルバーグのゼータ関数など数多くの応用分野に発展しています。
5. 物理学・統計力学への波及 量子統計力学やランダム行列理論とも関連が深く、ゼータ関数の零点分布は量子力学のエネルギー準位分布と数学的に類似性を示すことが示されています。
以上のように、リーマンゼータ関数 ζ(s) は解析学・数論・物理学のさまざまな分野をつなぐ「ハブ」として機能し、未解決のリーマン予想をはじめとする数多くの難問を抱えています。現在も世界中の研究者がその性質の解明に挑み、証明や計算機実験が活発に行われています。
特徴リスト 1. 級数表示：ζ(s) = ∑_{n=1}^∞ 1/n^s（Re(s) > 1） 2. オイラー積表示：ζ(s) = ∏_{p prime} (1 – p^{-s})^{-1} 3. 解析接続：Re(s) > 1 の領域から複素平面全域へ 4. 機能方程式：Λ(s) = π^{-s/2} Γ(s/2) ζ(s) = Λ(1 – s) 5. 非自明零点：Re(s) = 1/2 にあると予想（リーマン予想） 6. 数論的応用：素数定理やディリクレ L 関数などへの展開 7. 物理学への応用：ランダム行列理論や量子力学との関係
参考文献・ウェブサイト 1. 岩波講座「現代数学の展開」第6巻 リーマンゼータ関数論（岩波書店） URL: https://www.iwanami.co.jp/ 2. 東京大学数理科学研究科「リーマンゼータ関数とその応用」講義資料 URL: http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~lecture/zeta/ 3. Wolfram MathWorld “Riemann Zeta Function” URL: http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html （英語・日本語一部対応） 4. 京都大学数理解析研究所「解析接続と特異点」 URL: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/ 5. 日本数学会 企画連載「リーマン予想入門」 URL: https://www.mathsoc.jp/publication/index.html 6. Wikipedia「リーマンゼータ関数」 URL: https://ja.wikipedia.org/wiki/リーマンゼータ関数 7. Journal of Number Theory（Elsevier）“Recent results on the Riemann Zeta Function” URL: https://www.sciencedirect.com/journal/journal-of-number-theory 以上の資料を参照すると、リーマンゼータ関数の理論的背景から最新の研究動向まで幅広く学ぶことができます。
